287 Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство: Пусть дана прямая *l* и множество точек плоскости, расположенных по одну сторону от *l* и равноудалённых от неё. Обозначим расстояние от этих точек до прямой *l* как *d*. Рассмотрим две произвольные точки из этого множества, назовём их A и B. Поскольку A и B равноудалены от *l*, то расстояние от A до *l* равно *d*, и расстояние от B до *l* тоже равно *d*. Опустим перпендикуляры из точек A и B на прямую *l*. Обозначим основания перпендикуляров как A' и B' соответственно. Тогда AA' = d и BB' = d. Теперь рассмотрим четырёхугольник AA'B'B. У него AA' \(\perp\) *l* и BB' \(\perp\) *l*, следовательно, AA' || BB'. Также AA' = BB' = d. Это означает, что AA'B'B — прямоугольник. Раз четырёхугольник AA'B'B является прямоугольником, то стороны AB и A'B' параллельны. Следовательно, прямая AB параллельна прямой *l*. Поскольку A и B - произвольные точки из заданного множества, а прямая AB параллельна *l* и все точки равноудалены от *l*, это означает, что все точки лежат на прямой, параллельной данной прямой *l* и находящейся на расстоянии *d* от неё. Что и требовалось доказать.