22. Постройте график функции \(y = \frac{x^4 - 10x^2 + 9}{(x+1)(x-3)}\) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Сначала разложим числитель: \(x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)\) Тогда функция примет вид: \(y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x+1)(x-3)}\) Сократим дробь, учитывая, что \(x
eq -1\) и \(x
eq 3\): \(y = (x - 1)(x + 3) = x^2 + 2x - 3\), при \(x
eq -1\) и \(x
eq 3\) Получили параболу с вершиной в точке \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1\). Однако, в точке \(x = -1\) у нас выколотая точка. Значение функции в этой точке равно \(y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\). Также у нас есть выколотая точка в \(x = 3\). Значение функции в этой точке равно \(y = 3^2 + 2 * 3 - 3 = 9 + 6 - 3 = 12\). Таким образом, графиком является парабола \(y = x^2 + 2x - 3\) с выколотыми точками (-1; -4) и (3; 12). Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через вершину параболы или через одну из выколотых точек. Найдем вершину параболы. \(x_в = -1\), \(y_в = -4\) (мы уже вычисляли). Следовательно, прямая \(y = m\) имеет одну общую точку с графиком при \(m = -4\) (но эта точка выколота, поэтому не подходит), при \(m = 12\) (выколотая точка) и когда прямая касается параболы в вершине, кроме выколотой точки. Вершина параболы в точке \(x=-1\), тогда \(y = (-1)^2 + 2(-1) -3 = -4\). Для касания нужно, чтобы \(m\) был равен ординате вершины, то есть \(m = -4\). Однако, в этой точке у нас выколотая точка, поэтому нужно найти такое значение \(m\), чтобы прямая проходила через выколотую точку в \(x=3\), то есть \(m=12\). Кроме того, рассмотрим случай, когда прямая касается параболы. Для этого нужно, чтобы дискриминант уравнения \(x^2 + 2x - 3 = m\) был равен нулю. \(x^2 + 2x - 3 - m = 0\) \(D = 2^2 - 4(1)(-3-m) = 4 + 12 + 4m = 16 + 4m = 0\) \(4m = -16\) \(m = -4\). Но это значение уже исключено, так как там выколотая точка. Единственное значение, при котором прямая y=m имеет ровно одну общую точку с графиком, это когда она проходит через выколотую точку (3; 12). Т.е. \(m = 12\). Ответ: m = 12