Постройте график функции y = -x² - 6x + 7. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Решение: 1. Преобразуем уравнение параболы, выделив полный квадрат: y = -x² - 6x + 7 y = -(x² + 6x) + 7 y = -(x² + 6x + 9) + 7 + 9 y = -(x + 3)² + 16 2. Координаты вершины параболы: (-3, 16). 3. Ось симметрии: x = -3. 4. Направление ветвей: вниз, так как коэффициент при x² отрицательный (-1). 5. Нули функции (точки пересечения с осью x): Приравниваем функцию к нулю: -x² - 6x + 7 = 0 x² + 6x - 7 = 0 Находим корни через дискриминант D = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 x1 = (-6 + √64) / 2 = (-6 + 8) / 2 = 1 x2 = (-6 - √64) / 2 = (-6 - 8) / 2 = -7 6. Область определения: x ∈ (-∞; +∞) 7. Область значения: y ∈ (-∞; 16] 8. Промежутки знакопостоянства: y > 0 при x ∈ (-7; 1) y < 0 при x ∈ (-∞; -7) ∪ (1; +∞) 9. Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает при x ∈ (-∞; -3) Функция убывает при x ∈ (-3; +∞) 10. Наибольшее значение функции: y = 16 при x = -3 Наименьшего значения нет, так как парабола уходит в минус бесконечность Ответ: а) Область определения: x ∈ (-∞; +∞), Область значения: y ∈ (-∞; 16] б) Нули функции: x = -7 и x = 1 в) Промежутки знакопостоянства: y > 0 при x ∈ (-7; 1), y < 0 при x ∈ (-∞; -7) ∪ (1; +∞) г) Промежутки возрастания и убывания: возрастает при x ∈ (-∞; -3), убывает при x ∈ (-3; +∞) д) Наибольшее значение функции: 16, наименьшего значения нет