5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Для решения этой задачи необходимо найти высоту прямой треугольной призмы, зная площадь ее поверхности и катеты прямоугольного треугольника в основании. 1. **Найдем площадь основания:** Основание – прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54\] Так как у призмы два основания, общая площадь оснований равна: \[2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 54 = 108\] 2. **Найдем гипотенузу основания:** Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора: \[c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\] 3. **Выразим площадь боковой поверхности:** Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех прямоугольников. Пусть высота призмы равна h. Тогда площади боковых граней равны \(9h\), \(12h\) и \(15h\). \[S_{бок} = 9h + 12h + 15h = 36h\] 4. **Составим уравнение для нахождения высоты:** Площадь полной поверхности равна сумме площадей оснований и боковой поверхности: \[S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}\] \[288 = 108 + 36h\] \[36h = 288 - 108 = 180\] \[h = \frac{180}{36} = 5\] **Ответ: 5**