11. Окружность с радиусом 4, вписанная в равнобедренную трапецию \(ABCD\), касается её боковой стороны \(CD\) в точке \(E\). Найдите площадь трапеции, если известно, что \(DE = 8\), а \(AD\) - большее основание.

Пусть окружность с радиусом \(r = 4\) вписана в равнобедренную трапецию \(ABCD\). Обозначим точку касания окружности со стороной \(CD\) как \(E\), и известно, что \(DE = 8\). Поскольку трапеция равнобедренная, то \(CE = DE = 8\), и следовательно, боковая сторона \(CD = DE + CE = 8 + 8 = 16\). Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть \(h = 2r = 2 \cdot 4 = 8\). В равнобедренной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон, то есть \(AD + BC = AB + CD\), но \(AB = CD\), следовательно, \(AD + BC = 2CD\), таким образом, \(AD + BC = 2 \cdot 16 = 32\). Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{32}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128\). Ответ: 128