Найти точки экстремума и значения функции в этих точках (20-27).

Для решения задач 20-27 необходимо найти производную каждой функции, приравнять её к нулю и найти корни уравнения. Затем необходимо определить знак производной слева и справа от каждого корня. Если знак меняется с плюса на минус, то это точка максимума, если с минуса на плюс, то точка минимума. Если знак не меняется, то это не точка экстремума. 20. ( y = 3x^2 - 2x ) ( y' = 6x - 2 ) ( 6x - 2 = 0 ) ( x = \frac{1}{3} ) ( y'' = 6 > 0 ) - точка минимума ( y(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{9}) - 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} ) 21. ( y = 6x - x^3 ) ( y' = 6 - 3x^2 ) ( 6 - 3x^2 = 0 ) ( x^2 = 2 ) ( x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2} ) ( y'' = -6x ) ( y''(\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} < 0 ) - точка максимума ( y''(-\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} > 0 ) - точка минимума ( y(\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} ) ( y(-\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = -4\sqrt{2} ) 22. ( y = x^4 - 4x^3 + 20 ) ( y' = 4x^3 - 12x^2 ) ( 4x^3 - 12x^2 = 0 ) ( 4x^2(x - 3) = 0 ) ( x_1 = 0, x_2 = 3 ) ( y'' = 12x^2 - 24x ) ( y''(0) = 0 ) - требуется дополнительное исследование ( y''(3) = 12 * 9 - 24 * 3 = 108 - 72 = 36 > 0 ) - точка минимума 23. ( y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17 ) ( y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x ) ( 12x^3 + 12x^2 - 24x = 0 ) ( 12x(x^2 + x - 2) = 0 ) ( 12x(x + 2)(x - 1) = 0 ) ( x_1 = 0, x_2 = -2, x_3 = 1 ) ( y'' = 36x^2 + 24x - 24 ) ( y''(0) = -24 < 0 ) - точка максимума ( y''(-2) = 36 * 4 - 24 * 2 - 24 = 144 - 48 - 24 = 72 > 0 ) - точка минимума ( y''(1) = 36 + 24 - 24 = 36 > 0 ) - точка минимума 24. ( y = \frac{x}{3} - \sqrt{2x-3} ) ( y' = \frac{1}{3} - \frac{1}{2\sqrt{2x-3}} * 2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} ) ( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{2x-3}} = 0 ) ( \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{2x-3}} ) ( \sqrt{2x-3} = 3 ) ( 2x - 3 = 9 ) ( 2x = 12 ) ( x = 6 ) 25. ( y = cos(2x) ) ( y' = -2sin(2x) ) ( -2sin(2x) = 0 ) ( sin(2x) = 0 ) ( 2x = \pi * n, n \in Z ) ( x = \frac{\pi * n}{2} ) 26. ( y = e^{2x} - 2e^x ) ( y' = 2e^{2x} - 2e^x ) ( 2e^{2x} - 2e^x = 0 ) ( 2e^x(e^x - 1) = 0 ) ( e^x = 1 ) ( x = 0 ) ( y'' = 4e^{2x} - 2e^x ) ( y''(0) = 4 - 2 = 2 > 0 ) - точка минимума 27. ( y = x^2e^x ) ( y' = 2xe^x + x^2e^x = e^x(x^2 + 2x) ) ( e^x(x^2 + 2x) = 0 ) ( x^2 + 2x = 0 ) ( x(x + 2) = 0 ) ( x_1 = 0, x_2 = -2 )