Найти точки экстремума функции (12-18).

Для решения задач 12-18 необходимо найти производную каждой функции, приравнять её к нулю и найти корни уравнения. Затем необходимо определить знак производной слева и справа от каждого корня. Если знак меняется с плюса на минус, то это точка максимума, если с минуса на плюс, то точка минимума. Если знак не меняется, то это не точка экстремума. 12. ( y = -3x + 1 ) ( y' = -3 ) Производная постоянна и не равна нулю, следовательно, экстремумов нет. 13. ( y = 5x^3 + 20x - 8 ) ( y' = 15x^2 + 20 ) ( 15x^2 + 20 = 0 ) ( x^2 = -rac{20}{15} ) Нет вещественных решений, следовательно, экстремумов нет. 14. ( y = x^3 + 3x^2 ) ( y' = 3x^2 + 6x ) ( 3x^2 + 6x = 0 ) ( 3x(x + 2) = 0 ) ( x_1 = 0, x_2 = -2 ) ( y'' = 6x + 6 ) ( y''(0) = 6 > 0 ) - точка минимума ( y''(-2) = -12 + 6 = -6 < 0 ) - точка максимума 15. ( y = 9x - x^3 ) ( y' = 9 - 3x^2 ) ( 9 - 3x^2 = 0 ) ( x^2 = 3 ) ( x_1 = sqrt{3}, x_2 = -sqrt{3} ) ( y'' = -6x ) ( y''(sqrt{3}) = -6sqrt{3} < 0 ) - точка максимума ( y''(-sqrt{3}) = 6sqrt{3} > 0 ) - точка минимума 16. ( y = \frac{1}{x} + \frac{x}{2} ) ( y' = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2} ) ( -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2} = 0 ) ( \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2} ) ( x^2 = 2 ) ( x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2} ) ( y'' = \frac{2}{x^3} ) ( y''(\sqrt{2}) = \frac{2}{2\sqrt{2}} > 0 ) - точка минимума ( y''(-\sqrt{2}) = \frac{2}{-2\sqrt{2}} < 0 ) - точка максимума 17. ( y = \frac{2x + 3}{2 - 3x} ) ( y' = \frac{2(2-3x) - (2x+3)(-3)}{(2-3x)^2} = \frac{4 - 6x + 6x + 9}{(2-3x)^2} = \frac{13}{(2-3x)^2} ) Производная всегда положительна (если определена), следовательно, экстремумов нет. 18. ( y = \frac{x^6}{3x+2} ) ( y' = \frac{6x^5(3x+2) - x^6 * 3}{(3x+2)^2} = \frac{18x^6 + 12x^5 - 3x^6}{(3x+2)^2} = \frac{15x^6 + 12x^5}{(3x+2)^2} = \frac{3x^5(5x+4)}{(3x+2)^2} ) ( 3x^5(5x+4) = 0 ) ( x_1 = 0, x_2 = -\frac{4}{5} ) Исследование знака производной в окрестности этих точек покажет, являются ли они экстремумами. Необходимо проверить эти точки, а также точку ( x = -\frac{2}{3} ) (где знаменатель равен нулю).