Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений ax+4y=7; 3x+(a+1)y=16 имеет единственное решение.

\[\left\{ \begin{matrix} ax + 4y = 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3x + (a + 1)y = 16 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\frac{a}{3} \neq \frac{4}{a + 1}\]

\[\frac{a}{3} = \frac{4}{a + 1}\]

\[a(a + 1) = 12\]

\[a^{2} + a - 12 = 0\]

\[D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 12) =\]

\[= 1 + 48 = 49\]

\[a_{1} = \frac{- 1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = \frac{6}{2} =\]

\[= 3\]

\[a_{2} = \frac{- 1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{- 1 - 7}{2} =\]

\[= \frac{- 8}{2} = - 4\]

\[Единственное\ решение\ при\]

\[\ a \neq 0,\ a \neq 3,\ a \neq - 4.\]

\[\left\{ \begin{matrix} 4y = 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3x + y = 16 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}\ \\ 3x + y = 16 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[3x + 1\frac{3}{4} = 16\]

\[3x = 14\frac{1}{4}\]

\[3x = \frac{57}{4}\]

\[x = \frac{19}{4} = 4\frac{3}{4}\]

\[Единственное\ решение \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left( 4\frac{3}{4};1\frac{3}{4} \right).\]

\[Ответ:\ \ a - любое,\ кроме\ \]

\[a = 3\ и\ a = - 4.\]