Найдите tg 2a, если sina =$\frac{\sqrt{17}}{9}$ и $-\pi < a < -\frac{\pi}{2}$.

Дано: $\sin a = \frac{\sqrt{17}}{9}$ и $-\pi < a < -\frac{\pi}{2}$. Нужно найти $\tan 2a$. Сначала найдем $\cos a$. Так как $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$, то \[\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\frac{\sqrt{17}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{17}{81} = \frac{81 - 17}{81} = \frac{64}{81}\] \[\cos a = \pm \sqrt{\frac{64}{81}} = \pm \frac{8}{9}\] Поскольку $-\pi < a < -\frac{\pi}{2}$, угол $a$ находится в III четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, \[\cos a = -\frac{8}{9}\] Теперь найдем $\tan a$: \[\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{9}}{-\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{17}}{8}\] Используем формулу для $\tan 2a$: \[\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} = \frac{2 \left(-\frac{\sqrt{17}}{8}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{17}}{8}\right)^2} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{1 - \frac{17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{64 - 17}{64}} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{47}{64}} = -\frac{\sqrt{17}}{4} \cdot \frac{64}{47} = -\frac{16 \sqrt{17}}{47}\] Ответ: $-\frac{16 \sqrt{17}}{47}$