11. Медиана прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла C, равна \(\sqrt{10}\). Найдите площадь треугольника ABC, если tg B = 2.

Пусть дана прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть медиана, проведенная из вершины C, равна \(\sqrt{10}\). Известно, что тангенс угла B равен 2 (tg B = 2). Необходимо найти площадь треугольника ABC. Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза AB равна \(2\sqrt{10}\). Обозначим катет AC как \(x\), тогда tg B = \(\frac{AC}{BC} = \frac{x}{BC} = 2\), следовательно, BC = \(\frac{x}{2}\). По теореме Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\). Подставляем известные значения: \(x^2 + (\frac{x}{2})^2 = (2\sqrt{10})^2\). \(x^2 + \frac{x^2}{4} = 40\). \(\frac{5x^2}{4} = 40\). \(x^2 = \frac{4 \cdot 40}{5} = 32\). \(x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). Тогда AC = \(4\sqrt{2}\), BC = \(\frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\). Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\). \(S = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8\). **Ответ: 8**