Контрольная работа №3 по теме «Признаки подобия треугольников». Вариант 1. Задача 3. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\) и \(BC\) – основания) диагонали пересекаются в точке \(O\), \(AD=12\) см, \(BC=4\) см. Найдите площадь треугольника \(BOC\), если площадь треугольника \(AOD\) равна \(45\) см².

**Решение:** 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\). \(\angle BOC = \angle AOD\) (вертикальные углы). \(\angle OBC = \angle ODA\) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(BD\)). Следовательно, \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) по двум углам. 2. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон: \[k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\] 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\] 4. Найдем площадь треугольника \(BOC\): \[S_{BOC} = \frac{1}{9} \cdot S_{AOD} = \frac{1}{9} \cdot 45 = 5\] **Ответ:** Площадь треугольника \(BOC\) равна \(5\) см².