K-4 Вариант 2, Задача 3: В треугольнике АВС ∠C = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°. а) Докажите, что AD = BC. б) Докажите, что периметр треугольника АВС меньше пяти длин отрезка ВС.

Решение: а) 1. ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = ∠ABC - 30° 2. ∠A = 180° - ∠C - ∠ABC = 180° - 60° - ∠ABC = 120° - ∠ABC 3. ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 30° - ∠A = 150° - (120° - ∠ABC) = 30° + ∠ABC 4. ∠ABD = 30°, а ∠BDC = 60°, значит треугольник BDC равнобедренный и BD=BC 5. ∠ADB=30+∠ABC=180 - ∠BDC = 120. Получается, что ∠ABC = 90 6. В треугольнике ABD: сумма всех углов 180, 30 градусов занимает угол ABD, а получается, что угол ADB=180-30 - 120= 30,значит AD=AB 7. В треугольнике ABC: BC лежит против 90 градусов а AB против 60. => BC>AB 8. Теорема синусов: BC/sinA = AB/sinC = AC/sinB => AB= (BC*sinC)/sinA => AB=0.866 BC. sin 60 =0.866 9. AC = BC*sin(60) /sin(90)= > AC= 0.866 * BC б) 1. В Треугольнике ABC периметр = AB+BC+AC=> 0.866 BC + BC+ 0.866 BC=2.732*BC 2.732*BC< 5BC Ответ: а) AD=BC б) Периметр треугольника меньше пяти длин отрезка BC.