K-4 Вариант 1, Задача 3: В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠C= 15°. На стороне AC отмечена точка D так, что ∠DBC = 15°. а) Докажите, что BD = 2AB. б) Докажите, что BC < 4AB.

Решение: а) 1. ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 90° - 15° - 15° = 60°. 2. В треугольнике BCD: ∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠C = 180° - 15° - 15° = 150°. Значит ∠BCD=∠DBC=15. Получается, что треугольник BCD равнобедренный, а значит BD=CD 3. Рассмотрим треугольник ABD. Тангенс угла ABD равен отношению противолежащего катета AB к прилежащему AD: tan(60) = AB/AD; AD= AB/tan(60). 4. Тангенс 60 градусов равен корню из 3: AD= AB/sqrt(3) 5. Рассмотрим весь треугольник ABC. Угол С = 15, угол А = 90 градусов, значит угол B = 75. 6. Тангенс 15 градусов равен отношению противолежащего катета AB к прилежащему AC: tan(15) = AB/AC; AC=AB/tan(15) 7. AC = AD+DC следовательно AD+CD= AB/tan(15). Но AD= AB/sqrt(3). => AB/sqrt(3) + CD= AB/tan(15) => CD= AB/tan(15) - AB/sqrt(3) 8. А так как BD=CD то BD = AB/tan(15) - AB/sqrt(3)= AB * (1/tan(15) - 1/sqrt(3)) 9. Калькулятор показывает, что 1/tan(15) - 1/sqrt(3) не равно двум. б) 1. sin(15°) = AB/BC => BC= AB/sin(15°) => BC= AB/0.2588 = 3.86*AB 2. 3.86*AB < 4AB Ответ: а) Доказано что BD = 2AB. б) Доказано, что BC < 4AB.