Из двух сёл A и B, расстояние между которыми равно 54 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились в селе C, расстояние от которого до A составляет 1/3 расстояния между A и B, причём первый велосипедист выехал из B на 54 мин раньше, чем второй велосипедист выехал из A. Если бы велосипедисты выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Ответ:

\[Пусть\ x\ \frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ лодки,\ \]

\[а\ y\ \frac{км}{ч} - скорость\]

\[течения.\ Тогда\ (x + y)\frac{км}{ч} -\]

\[скорость\ по\ течению,\ а\]

\[\ (x - y)\frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[против\ течения.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{54}{x + y} + \frac{48}{x} = 6 \\ \frac{64}{x} - \frac{36}{x + y} = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Пусть\ \ \frac{1}{x + y} = t,\ \ \ \frac{1}{x} = c,\ \ \ \]

\[тогда:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 54t + 48c = 6\ \ |\ :6 \\ 64c - 36t = 2\ \ |\ :2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 9t + 8c = 1\ \ | \cdot 2 \\ - 18t + 32c = 1\ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 18t + 16c = 2\ \ \ \\ - 18t + 32c = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 48c = 3\ \ \ \ \ \\ t = \frac{1 - 8c}{9} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} c = \frac{1}{16} \\ t = \frac{1}{18} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[Получаем:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x + y} = \frac{1}{18} \\ \frac{1}{x} = \frac{1}{16}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 16\ \ \ \ \ \ \ \ \\ y + x = 18 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 16\ \ \ \ \ \ \ \ \\ y = 18 - x \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 16 \\ y = 2\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[16\ \frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ лодки.\]

\[2\ \frac{км}{ч} - скорость\ течения\ \]

\[реки.\]

\[Ответ:16\frac{км}{ч};\ \ 2\frac{км}{ч}.\]