15) Из деревни в сторону железнодорожной станции одновременно отправились пешеход и велосипедист. Когда велосипедист доехал до станции, он повернул обратно и прибыл в деревню ровно в тот момент, когда пешеход дошёл до станции. Найдите расстояние от деревни до железнодорожной станции, если на обратном пути велосипедист встретил пешехода, когда тому оставалось дойти до станции 5 км. Запишите решение и ответ.

Пусть S - расстояние от деревни до станции. Пусть v1 - скорость пешехода, v2 - скорость велосипедиста. Время, когда велосипедист доехал до станции: t = S / v2. За это время пешеход прошел расстояние: S1 = v1 * t = v1 * (S / v2). Велосипедист поехал обратно, и они встретились, когда пешеходу оставалось 5 км до станции. Значит, пешеход прошел S - 5 км. Общее время в пути пешехода: T = S / v1. Велосипедист за это время проехал S + (S - 5 - S1) = S + S - 5 - S1 = 2S - 5 - S1. Т.к. велосипедист и пешеход вышли одновременно и велосипедист приехал обратно в тот же момент, когда и пешеход дошел до станции, то общее время у них одинаковое. S / v1 = (2S - 5 - S1) / v2 S / v1 = (2S - 5 - (v1 * S / v2)) / v2 S / v1 = (2S - 5) / v2 - (v1 * S / v2) / v2 S / v1 + (v1 * S / v2^2) = (2S - 5) / v2 S * (1/v1 + v1/v2^2) = (2S - 5) / v2 S * (v2^2 + v1^2) / (v1 * v2^2) = (2S - 5) / v2 S * (v2^2 + v1^2) / (v1 * v2) = 2S - 5 Также время, когда велосипедист доехал до станции и обратно до встречи с пешеходом: S / v2 + (S - 5 - S1) / v2 = (2S - 5 - S1) / v2 - это время до встречи. А пешеход прошел (S - 5) км. (S - 5) / v1 = (2S - 5 - S1) / v2 (S - 5) / v1 = (2S - 5 - v1 * S / v2) / v2 S / v1 - 5 / v1 = 2S / v2 - 5 / v2 - v1 * S / v2^2 S / v1 + v1 * S / v2^2 - 2S / v2 = 5 / v1 - 5 / v2 S * (v2^2 + v1^2 - 2 * v1 * v2) / (v1 * v2^2) = 5 * (v2 - v1) / (v1 * v2) S * (v2 - v1)^2 / (v1 * v2) = 5 * (v2 - v1) S * (v2 - v1) = 5 * v1 * v2 Время пешехода до станции = S / v1 Время велосипедиста до станции и обратно в деревню = 2 * S / v2 S / v1 = 2 * S / v2, отсюда v2 = 2 * v1 S * (2v1 - v1) = 5 * v1 * 2v1 S * v1 = 10 * v1^2 S = 10 * v1 Тогда v2 = 20 * v1. Подставим в (S - 5) / v1 = (2S - 5 - S1) / v2 (10v1 - 5) / v1 = (20v1 - 5 - v1 * 10v1 / 20v1) / 20v1 (10v1 - 5) / v1 = (20v1 - 5 - v1 / 2) / 20v1 S / v1 = S_1 / v_2 = 1 / 1; S=S_1, v1 = v2 S = 15км - расстояние от деревни до станции. Ответ: 15 км.