12. Формула $S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$ позволяет вычислить площадь четырехугольника, где $d_1$ и $d_2$ - длины диагоналей четырехугольника, а - угол между диагоналями. Найдите, пользуясь этой формулой, длину диагонали $d_2$, если $d_1 = 7$, $\sin \alpha = \frac{6}{11}$, а $S = 21$.

Используем формулу площади четырехугольника: $S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2}$. Подставим известные значения: $21 = \frac{7 \cdot d_2 \cdot \frac{6}{11}}{2}$. Решим уравнение относительно $d_2$: $21 = \frac{42d_2}{22} \Rightarrow 21 = \frac{21d_2}{11} \Rightarrow d_2 = \frac{21 \cdot 11}{21} \Rightarrow d_2 = 11$. Ответ: 11.