1. Докажите тождество a) $\frac{1-\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}} \cdot \ctg{\alpha} = 1$, б) $(1 + \ctg^2{\alpha}) \sin^4{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$

1. a) Докажем тождество: $\frac{1-\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}} \cdot \ctg{\alpha} = 1$ Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$, следовательно $1 - \cos^2{\alpha} = \sin^2{\alpha}$. Также $\ctg{\alpha} = \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$. Тогда: $\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}\cos{\alpha}} \cdot \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}}{\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}} = 1$ Тождество доказано. б) Докажем тождество: $(1 + \ctg^2{\alpha}) \sin^4{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ Используем тождество: $1 + \ctg^2{\alpha} = \frac{1}{\sin^2{\alpha}}$. Тогда: $\frac{1}{\sin^2{\alpha}} \cdot \sin^4{\alpha} + \cos^2{\alpha} = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$ Тождество доказано.