5. Докажите, что при любых значениях $$m$$ верно неравенство $$m(1+5m) \geq m^2 +5m -1$$.

Докажем неравенство $$m(1+5m) \geq m^2 +5m -1$$: Раскроем скобки в левой части: $$m + 5m^2 \geq m^2 + 5m - 1$$ Перенесем все члены в левую часть: $$5m^2 - m^2 + m - 5m + 1 \geq 0$$ Упростим: $$4m^2 - 4m + 1 \geq 0$$ Заметим, что левая часть является полным квадратом: $$(2m - 1)^2 \geq 0$$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, данное неравенство верно при любых значениях $$m$$. Ответ: Неравенство доказано.