14. Алик, Миша и Вася покупали блокноты и трехкопеечные карандаши. Алик купил 2 блокнота и 4 карандаша, Миша – блокнот и 6 карандашей, Вася – блокнот и 3 карандаша. Оказалось, что суммы, которые уплатили Алик, Миша и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

Пусть x – стоимость блокнота, y – стоимость карандаша. Тогда: Алик заплатил: 2x + 4y Миша заплатил: x + 6y Вася заплатил: x + 3y Так как суммы образуют геометрическую прогрессию, то квадрат среднего члена равен произведению крайних членов: $(x + 6y)^2 = (2x + 4y)(x + 3y)$ $x^2 + 12xy + 36y^2 = 2x^2 + 6xy + 4xy + 12y^2$ $x^2 + 12xy + 36y^2 = 2x^2 + 10xy + 12y^2$ $0 = x^2 - 2xy - 24y^2$ $x^2 - 2xy - 24y^2 = 0$ Разделим обе части уравнения на $y^2$ (если y = 0, то прогрессия состоит из нулей, что невозможно, так как тогда блокноты ничего не стоят): $(\frac{x}{y})^2 - 2(\frac{x}{y}) - 24 = 0$ Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда: $t^2 - 2t - 24 = 0$ D = $(-2)^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100$ $t_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6$ $t_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = -4$ Так как цена не может быть отрицательной, то $t = 6$, то есть $\frac{x}{y} = 6$, значит $x = 6y$. Подставим x = 6y в выражение для Васи: $x + 3y = 6y + 3y = 9y$ Подставим x = 6y в выражение для Миши: $x + 6y = 6y + 6y = 12y$ Подставим x = 6y в выражение для Алика: $2x + 4y = 2(6y) + 4y = 12y + 4y = 16y$ Тогда геометрическая прогрессия: 16y, 12y, 9y. Проверим: $\frac{12y}{16y} = \frac{3}{4}$ $\frac{9y}{12y} = \frac{3}{4}$ Значит, знаменатель прогрессии равен $\frac{3}{4}$. Так как x = 6y, то блокнот стоит в 6 раз дороже карандаша. Но так как карандаш стоит 3 копейки, то блокнот стоит 6 * 3 = 18 копеек. Ответ: 18 копеек