а) Через точку окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке O. Через точку A на окружности проведен диаметр AB и хорда AC, равная радиусу. Требуется найти угол между диаметром и хордой, то есть угол \(\angle BAC\). Так как AC равна радиусу, то \(AC = AO = R\). Значит, треугольник \(\triangle AOC\) – равнобедренный, и углы при основании равны, то есть \(\angle ACO = \angle AOC\). Обозначим этот угол за \(x\). Угол \(\angle AOB\) – развернутый, то есть равен \(180^\circ\). Тогда \(\angle COB = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - x\). Треугольник \(\triangle AOC\) равнобедренный, следовательно, \(\angle OAC = \angle OCA = x\). Сумма углов в треугольнике \(\triangle AOC\) равна \(180^\circ\), поэтому: \(\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ\) \(x + x + x = 180^\circ\) В треугольнике \(\triangle BOC\): \(BO = OC = R\), следовательно, он тоже равнобедренный. \(\angle OBC = \angle OCB\). \(\angle COB = 180 - x\), тогда \(\angle OBC = \angle OCB = \frac{x}{2}\) Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). \(\angle ABC = \frac{x}{2}\). \(\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ\). Поскольку AB - диаметр, угол \(\angle ACB\) опирается на диаметр, следовательно, он прямой: \(\angle ACB = 90^\circ\). Получаем: \(\angle BAC + 90^\circ + \angle ABC = 180^\circ\) \(\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - \angle ABC\) Рассмотрим треугольник \(\triangle AOC\), он равнобедренный. \(AO=OC\), \(\angle AOC = 60^\circ\) , значит \(\angle OAC = \angle OCA = (180 - 60) / 2 = 60^\circ\). Следовательно \(\triangle AOC\) равносторонний. Угол между хордой и диаметром равен \(30^\circ\). Ответ: 30°