В сложном предложении одна из частей может быть односоставной. Определим их:
1) **Вот опальный домик, где жил я с бедной нянею своей.** - первая часть назывное предложение.
2) **Из бестолкового, суматошного щенка на глазах вырастает красивый, умный пёс, который становится полноправным членом твоей семьи.** - вторая часть предложение двусоставное, а первая часть - назывное.
3) **Было сыро, но не холодно, хотя ртутный столбик показывал всего несколько градусов тепла.** - первая часть безличное предложение.
4) **Степные дикие кошки обычно пятнистые, а лесные – полосатые.**- обе части двусоставные.
5) **Прохладно, но стелющийся туман предвещает ясный и тёплый день.** - первая часть безличное предложение.
Таким образом, в 1, 2, 3, и 5 примере одна часть сложного предложения является односоставной.