714. На продолжении боковой стороны OB равнобедренного треугольника AOB с основанием AB взята точка C так, что точка B лежит между точками O и C. Отрезок AC пересекает биссектрису угла AOB в точке M. Докажите, что AM < MC.

Треугольник AOB равнобедренный, значит AO = BO. Пусть OM - биссектриса угла AOB, значит угол AOM = угол BOM. Рассмотрим треугольники AOM и BOM. В треугольниках AOM и BOM: AO = BO (по условию) угол AOM = угол BOM (OM - биссектриса) OM - общая сторона Следовательно, треугольники AOM и BOM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда AM = BM. Поскольку точка В лежит на отрезке OC, то точка B лежит между O и C. Значит BC + BO = CO. Поскольку треугольник AOB равнобедренный, то угол OAB = угол OBA. Угол ABO смежный с углом СВA, т.е. угол СВА = 180 - угол AВO. Рассмотрим треугольник ABC. Угол CAB < угол CBA. Согласно теореме, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, следовательно, BC < AC. Так как AM=MB, то MB+MC>AM. AM+MC=AC, а MB=AM, тогда АС>2AM Если AM>MC то AM+MC=AC=2MC. Так как AC > BC, значит AM < MC. Ответ: AM < MC, доказано.