№7. Найдите скалярное произведение векторов и определите угол между векторами, если a{4; -2} и b{3; 5} и c{4; 5} и b{-7; 2}

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу скалярного произведения векторов в координатах: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ **Случай 1: a{4; -2} и b{3; 5}** 1. Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 * 3 + (-2) * 5 = 12 - 10 = 2$ 2. Вычислим длины векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$ 3. Найдем косинус угла между векторами: $cos(\angle) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{34}} = \frac{1}{\sqrt{170}}$ 4. Угол между векторами: $\angle = arccos( \frac{1}{\sqrt{170}})$ **Случай 2: c{4; 5} и b{-7; 2}** 1. Вычислим скалярное произведение: $\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 * (-7) + 5 * 2 = -28 + 10 = -18$ 2. Вычислим длины векторов: $|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$ $|\vec{b}| = \sqrt{(-7)^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$ 3. Найдем косинус угла между векторами: $cos(\angle) = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{c}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-18}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{53}} = \frac{-18}{\sqrt{2173}}$ 4. Угол между векторами: $\angle = arccos( \frac{-18}{\sqrt{2173}})$ **Итог:** Для a{4; -2} и b{3; 5}: Скалярное произведение: 2. Угол между векторами: $arccos( \frac{1}{\sqrt{170}})$ Для c{4; 5} и b{-7; 2}: Скалярное произведение: -18. Угол между векторами: $arccos( \frac{-18}{\sqrt{2173}})$