3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: А) точно 270 раз; Б) меньше, чем 270 и больше, чем 230 раз.

Для этой задачи используется приближение Пуассона или нормальное приближение, поскольку n большое. В варианте А) точное число событий, для этого применим формулу Бернулли. n=700, p=0.35, k=270 P(270) = C(700, 270) * 0.35^270 * 0.65^430. Это значение вычислить вручную сложно. Приблизим с помощью нормального распределения. Мат. ожидание = np = 700 * 0.35 = 245 Дисперсия = np(1-p) = 700 * 0.35 * 0.65 = 159.25 Среднеквадратическое отклонение = sqrt(159.25) = 12.62 А) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа: P(270) = 1 / (sqrt(2 * pi * 159.25)) * exp(-(270-245)^2 / (2*159.25)) P(270) = 1 / (sqrt(1000)) * exp(-625 / 318.5) = 1 / 31.6 * exp (-1.96) = 0.0316 * 0.141 = 0.0044 Б) В этом случае нужно найти P(230 < k < 270). Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа. Z1 = (230-245)/12.62 = -1.19 Z2 = (270-245)/12.62 = 1.98 Ф(1.98) = 0.4761 Ф(-1.19) = -0.3830 P(230 < k < 270) = Ф(1.98) - Ф(-1.19) = 0.4761 - (-0.3830) = 0.8591 Ответ: А) примерно 0.0044 Б) примерно 0.8591