3. Сторона квадрата ABCD равна 8 см, а диагонали пересекаются в точке M. Отрезок MK перпендикулярен плоскости квадрата. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью KBC равен 60°. Найдите длину отрезка MK.

1. Найдем длину диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной a равна a√2. В нашем случае диагональ AC = 8√2 см. 2. Точка M является серединой диагонали, поэтому AM = MC = (8√2) / 2 = 4√2 см. 3. Рассмотрим треугольник BMC. Он является прямоугольным, поскольку диагонали квадрата перпендикулярны и делят друг друга пополам. BC = 8, BM = 4√2, CM = 4√2. 4. Проведем высоту из точки M на сторону BC и обозначим ее N. В треугольнике BMC, MN будет перпендикулярна BC. Длина высоты MN = BM * sin(45) = (4√2) * (√2/2) = 4. 5. Рассмотрим треугольник MKN. Угол между плоскостями ABCD и KBC задан, это угол KNM, который равен 60°. MK перпендикулярен плоскости квадрата, MN перпендикулярна BC, поэтому угол KNM равен 60 градусов. 6. В треугольнике MKN, tan(60°) = MK/MN. Отсюда MK = MN * tan(60°) = 4 * √3. Ответ: Длина отрезка MK равна 4√3 см.