№3. Отрезок AK — биссектриса треугольника CAE. Через точку K проведена прямая, параллельная стороне CA и пересекающая сторону AE в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если ∠CAE = 80°.

Так как AK — биссектриса угла CAE, то ∠CAK = ∠KAE = ∠CAE / 2 = 80° / 2 = 40°. Прямая KN параллельна прямой CA, следовательно, ∠NKA = ∠CAK как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых CA и KN и секущей AK. Таким образом, ∠NKA = 40°. Также ∠ANK и ∠CAE - соответсвующие углы при параллельных прямых и секущей AE, значит, ∠ANK = ∠CAE = 80°. В треугольнике AKN сумма углов равна 180°, поэтому ∠AKN + ∠NKA + ∠KAN = 180°. Мы знаем ∠NKA = 40° и ∠KAN = 40°, поэтому ∠AKN = 180° - 40° - 80° = 60°. Таким образом, ∠AKN = 60°, ∠NKA = 40°, ∠KAN = 80° Ответ: ∠AKN = 60°, ∠NKA = 40°, ∠KAN = 80°.