24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны.

Рассмотрим четырехугольник B1CC1B. Углы B1 и C1 прямые, так как это основания высот, тогда сумма углов B1 и С1 равна 180. А если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность. Тогда, углы \angle B1C1B и \angle B1CB являются вписанными углами, опирающимися на одну дугу B1B, а вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит углы \angle BB1C1 = \angle BCC1. Что и требовалось доказать.