23. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК=8, а сторона АС в 1,6 раза больше стороны ВС.

Так как окружность проходит через точки B, C, K и P, то четырехугольник BKPC является вписанным. Следовательно, \angle AKR = \angle ACB, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Также \angle A - общий. Значит, треугольники AKR и ABC подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что \frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC} = \frac{KP}{BC}. Также по условию AC=1.6*BC, тогда \frac{AC}{BC}=1.6. Также можем сказать что \frac{AP}{AC}=\frac{AK}{AB}. Таким образом, \frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AB}. Так как AP лежит на AC, и AK лежит на AB то \frac{AK}{AB} = \frac{AP}{AC}. Поскольку K и P лежат на окружности, проходящей через B и C, то в четырехугольнике BKPC углы \angle KBP = \angle KCP, и \angle BKC = \angle BPC. А поскольку \angle A = \angle A то \frac{KP}{BC} = \frac{AK}{AC}. Тогда \frac{KP}{BC} = \frac{8}{1.6BC} = \frac{8}{1.6} \frac{1}{BC}. Откуда KP = \frac{8BC}{1.6BC} = \frac{8}{1.6} = 5. Ответ: 5