24. На средней линии трапеции KLMN с основаниями KN и LM выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников KFN и LFM равна половине площади трапеции.

Пусть h - высота трапеции, a и b - длины оснований KN и LM. Средняя линия трапеции = (a+b)/2. Площадь трапеции: (a+b)/2*h. Площадь треугольника KFN = 1/2 * h1 * KN, площадь треугольника LFM = 1/2 * h2 * LM, где h1 и h2 высоты треугольников относительно сторон KN и LM, при этом h1+h2 = h. F лежит на средней линии трапеции, которая равна (a+b)/2. Сумма площадей треугольников KFN и LFM: 1/2 * KN * h1 + 1/2 * LM * h2 = 1/2 * a * h1 + 1/2 * b * h2. Взяв точку F посередине средней линии, получим h1=h2 =h/2. Тогда сумма площадей = 1/2 * a* h/2 + 1/2 * b * h/2 = h/4 *(a+b). Площадь трапеции: (a+b)*h / 2. h/4 *(a+b) = 1/2 * (a+b)h/2 . Таким образом сумма площадей = половине площади трапеции. Ответ: Доказано