24. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

1. **Свойства параллелограмма:** В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, которая является их серединой. То есть AO = OC и BO = OD. Также, противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны: AB || CD и AB = CD. 2. **Рассмотрим треугольники:** Рассмотрим треугольники \( \triangle BOP \) и \( \triangle DOQ \). Угол \( \angle BOP = \angle DOQ \) (вертикальные углы). Угол \( \angle OBP = \angle ODQ \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD). Также угол \( \angle OPB = \angle OQD \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей PQ). 3. **Подобие треугольников:** Из равенства двух углов следует, что \( \triangle BOP \) подобен \( \triangle DOQ \) (по первому признаку подобия, по двум углам). 4. **Соотношение сторон в подобных треугольниках:** Так как треугольники подобны, то соотношение соответствующих сторон равно. \( \frac{BO}{DO} = \frac{BP}{DQ} = \frac{OP}{OQ} \) Поскольку O - середина диагонали BD, BO = DO. Значит, \( \frac{BO}{DO} = 1 \). Таким образом, \( \frac{BP}{DQ} = 1 \), что означает BP = DQ. Ответ: Отрезки BP и DQ равны, что и требовалось доказать.