23. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 21, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.

1. **Свойство вписанного четырехугольника:** Так как точки B, C, P, и K лежат на одной окружности, то четырехугольник BPKC - вписанный. Следовательно, \( \angle KPC = \angle KBC \) (углы, опирающиеся на одну дугу) Также \( \angle PKC = \angle PBC \) (углы, опирающиеся на одну дугу) 2. **Подобие треугольников:** Рассмотрим треугольники \( \triangle APB \) и \( \triangle AKC \). Они имеют общий угол \( \angle A \). Также \( \angle AKC = \angle ABC \) (угол KBC=PKC) Из этого следует, что треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle AKP \) подобны (по двум углам). 3. **Отношение сторон:** По условию BC в 1.5 раза меньше AB. Значит AB = 1.5 BC. Обозначим BC = x, тогда AB = 1.5x Из подобия треугольников имеем: \( \frac{AP}{AB} = \frac{AK}{AC} = \frac{KP}{BC} \) Мы знаем AP = 21, \( \frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB} \). Заменим BC = x и AB = 1.5x, получим: \( \frac{KP}{x} = \frac{21}{1.5x} \) 4. **Найдем KP:** \( KP = \frac{21x}{1.5x} = \frac{21}{1.5} = 14 \) Ответ: KP = 14.