2. Найдите область определения функции:

Решение:

Область определения функции — это все значения \( x \), для которых функция имеет смысл.

а) \( y = x^4 - 5x^3 + 2 \)

Это многочлен. Многочлены определены для всех действительных чисел \( x \).

б) \( y = \frac{1}{5x^2+4x-1} \)

1. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
2. Решим уравнение \( 5x^2 + 4x - 1 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 \).
4. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \)
5. \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \).
6. Значит, знаменатель обращается в ноль при \( x = 0.2 \) и \( x = -1 \).

в) \( y = \sqrt{6x+4} \)

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 6x + 4 \ge 0 \).
2. Решим неравенство: \( 6x \ge -4 \)
3. \( x \ge -\frac{4}{6} \)
4. \( x \ge -\frac{2}{3} \).

Ответ: а) \( D(y) = \mathbb{R} \) (все действительные числа); б) \( D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-1; 0.2\} \); в) \( D(y) = [-\frac{2}{3}; +\infty) \).