17. Основания трапеции равны 12 и 68, одна из боковых сторон равна 50, а косинус угла между ней и одним из оснований равен 2\sqrt{66}/25. Найдите площадь трапеции.

Для решения этой задачи нам потребуется найти высоту трапеции. Обозначим основания трапеции как $a = 12$ и $b = 68$, а боковую сторону как $c = 50$. Косинус угла между боковой стороной и основанием равен \( \cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{66}}{25} \). Высоту трапеции можно найти, используя синус того же угла. Сначала найдем синус: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \) \( \sin^2(\alpha) = 1 - \left( \frac{2\sqrt{66}}{25} \right)^2 = 1 - \frac{4 * 66}{625} = 1 - \frac{264}{625} = \frac{361}{625} \) \( \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{361}{625}} = \frac{19}{25} \) Теперь найдем высоту трапеции \( h \), умножив длину боковой стороны на синус угла: \( h = c * \sin(\alpha) = 50 * \frac{19}{25} = 2 * 19 = 38 \) Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a + b}{2} * h \). Подставим известные значения: \( S = \frac{12 + 68}{2} * 38 = \frac{80}{2} * 38 = 40 * 38 = 1520 \) Ответ: Площадь трапеции равна 1520.