16. Хорда AB окружности перпендикулярна её радиусу OC и делит радиус пополам. Найдите длину радиуса окружности, если AB=17√3.

Пусть радиус окружности равен R. Хорда AB перпендикулярна радиусу OC и делит его пополам. Это означает, что отрезок OH равен R/2, где H – точка пересечения хорды AB и радиуса OC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOH. В нем AH = AB/2 = (17√3)/2. По теореме Пифагора, AH^2 + OH^2 = AO^2, то есть ((17√3)/2)^2 + (R/2)^2 = R^2. Упрощаем: (289*3)/4 + R^2/4 = R^2; 867/4 + R^2/4 = R^2. Умножаем всё на 4: 867 + R^2 = 4R^2. 3R^2 = 867. Делим обе части на 3: R^2 = 289. Извлекаем квадратный корень: R = 17. Таким образом, радиус окружности равен 17.