14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 30 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, за каждый последующий промах – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 10 штрафных очков?

Пусть x - количество промахов. Тогда штрафные очки за промахи образуют арифметическую прогрессию с первым членом a_1 = 1 и разностью d = 0,5. Сумма арифметической прогрессии: S_x = (2a_1 + (x - 1)d) * x / 2. Нам дано, что S_x = 10. Подставим известные значения и решим уравнение: 10 = (2 * 1 + (x - 1) * 0,5) * x / 2 20 = (2 + 0,5x - 0,5) * x 20 = (1,5 + 0,5x) * x 20 = 1,5x + 0,5x^2 0,5x^2 + 1,5x - 20 = 0 x^2 + 3x - 40 = 0 Решим квадратное уравнение: D = 3^2 - 4 * 1 * (-40) = 9 + 160 = 169 x_1 = (-3 + sqrt(169)) / 2 = (-3 + 13) / 2 = 10 / 2 = 5 x_2 = (-3 - sqrt(169)) / 2 = (-3 - 13) / 2 = -16 / 2 = -8 (не подходит, т.к. количество промахов не может быть отрицательным). Итак, стрелок промахнулся 5 раз. Так как всего было 30 выстрелов, количество попаданий: 30 - 5 = 25. Ответ: 25.