№10 Найдите $tg 2\alpha$, если $sin \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{8}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

Дано: $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{8}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Нужно найти: $\tan 2\alpha$. 1. Найдем $\cos \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{39}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{39}{64} = \frac{64 - 39}{64} = \frac{25}{64}$ $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{64}} = \pm \frac{5}{8}$ Так как $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, то $\alpha$ находится в третьей четверти, где косинус отрицательный. Следовательно, $\cos \alpha = -\frac{5}{8}$. 2. Найдем $\sin 2\alpha$: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{39}}{8}\right) \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = \frac{10\sqrt{39}}{64} = \frac{5\sqrt{39}}{32}$ 3. Найдем $\cos 2\alpha$: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{5}{8}\right)^2 - \left(-\frac{\sqrt{39}}{8}\right)^2 = \frac{25}{64} - \frac{39}{64} = \frac{25 - 39}{64} = \frac{-14}{64} = -\frac{7}{32}$ 4. Найдем $\tan 2\alpha$: $\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\frac{5\sqrt{39}}{32}}{-\frac{7}{32}} = \frac{5\sqrt{39}}{32} \cdot \left(-\frac{32}{7}\right) = -\frac{5\sqrt{39}}{7}$ Ответ: $\tan 2\alpha = -\frac{5\sqrt{39}}{7}$