№11 На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM = 6, MB = 8, AN = 4 и NC = 12. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 9.

Дано: $\triangle ABC$, $AM = 6$, $MB = 8$, следовательно, $AB = AM + MB = 6 + 8 = 14$, $AN = 4$, $NC = 12$, следовательно, $AC = AN + NC = 4 + 12 = 16$, $S_{AMN} = 9$. Найти: $S_{ABC}$. Решение: Площадь треугольника можно выразить как $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ - стороны треугольника, а $\gamma$ - угол между ними. Пусть $\angle A = \alpha$. Тогда: $S_{AMN} = \frac{1}{2} AM \cdot AN \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin \alpha = 12 \sin \alpha = 9$ $\sin \alpha = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ Теперь найдем площадь треугольника ABC: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 16 \cdot \frac{3}{4} = 7 \cdot 16 \cdot \frac{3}{4} = 7 \cdot 4 \cdot 3 = 28 \cdot 3 = 84$ Ответ: $S_{ABC} = 84$