№ 2. В прямоугольном треугольнике ABC угол A=90 градусов, AB=20 см.высота AD =12 см. Найдите AC и косинус угла C.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, высота AD опущена на гипотенузу BC. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: 1. $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC$ 2. $S = \frac{1}{2} BC \cdot AD$ Приравняем эти выражения: $\frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} BC \cdot AD$ $AB \cdot AC = BC \cdot AD$ Известно, что $AB = 20$ и $AD = 12$. Подставим значения: $20 \cdot AC = BC \cdot 12$ $AC = \frac{12}{20} BC = \frac{3}{5} BC$ Выразим $BC$ через $AC$ и $AB$ по теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 20^2 + AC^2 = 400 + AC^2$ $BC = \sqrt{400 + AC^2}$ Подставим $AC = \frac{3}{5} BC$: $BC = \sqrt{400 + (\frac{3}{5}BC)^2} = \sqrt{400 + \frac{9}{25}BC^2}$ $BC^2 = 400 + \frac{9}{25}BC^2$ $\frac{16}{25}BC^2 = 400$ $BC^2 = \frac{25}{16} \cdot 400 = 25 \cdot 25 = 625$ $BC = \sqrt{625} = 25$ Теперь найдем $AC$: $AC = \frac{3}{5} BC = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15$ Косинус угла C равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе BC: $cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6$ **Ответ: AC = 15 см, cos C = 0.6**