№ 3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 5.

Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = 30^\circ\). Так как AM и DM перпендикулярны, то \(\angle AMD = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник AMD: \(\angle MAD = 30^\circ\), \(\angle AMD = 90^\circ\), следовательно, \(\angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Так как \(\angle MAD = 30^\circ\) и \(\angle ADM = 60^\circ\), то \(\angle ADC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\). В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, поэтому \(\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ\), следовательно, \(\angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Таким образом, все углы параллелограмма либо 60°, либо 120°. Рассмотрим треугольник ABM: \(\angle BAM = 30^\circ\), \(\angle ABM = 60^\circ\), следовательно, \(\angle AMB = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\). Это означает, что треугольник ABM прямоугольный. Но это противоречит условию, что AM и DM перпендикулярны. Значит, нужно искать другое решение. Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD = 30^\circ\). Так как AM и DM перпендикулярны, \(\angle AMD = 90^\circ\). Следовательно, в треугольнике AMD \(\angle ADM = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Значит, угол ADC = 2 * 60 = 120 градусов. По условию, угол DAB = 60, значит угол BCD = 60, угол ABC = угол ADC = 120 градусов. Так как \(\angle MAB = 30^\circ\), \(\angle MBA = 120^\circ\), следовательно угол AMB = 180 - 30 -120 = 30. Значит, треугольник ABM равнобедренный (AB = BM = 5). Так как AM и DM перпендикулярны, следовательно \(\angle DMA = 90^\circ\), а \(\angle ADM = 180 - 90 - 30 = 60^\circ\). Значит, угол ADC = 2*\(\angle ADM \) = 2*60 = 120. Следовательно угол BCD = 60. Тогда угол BCD = \(\angle BAD \)=60. Тогда угол ABC = 120. Получается BM=AB=5, тогда BC = BM+MC, но MC=AD (свойства параллелограмма), BC=AD. Тогда BC=AD=5. Но тогда, т.к. BM=5 то MC = x. Т.к. углы BAD и BCD равны 60, углы ABC и ADC равны 120. Угол BAM=30, угол AMB=30, т.е. AB=BM=5, значит BC = BM+MC Пусть AB=CD=5 Пусть AD=BC=x Периметр равен 2*(AB+BC) = 2*(5+x) Рассмотрим треугольник AMD - прямоугольный, \(\angle MAD = 30^\circ\), \(\angle ADM=60^\circ\) Рассмотрим треугольник MCD - \(\angle MDC = 60^\circ - 30^\circ=30^\circ\), \(\angle DMC = 90^\circ\), \(\angle MCD=60^\circ\) Значит, CD=5 2*(5+5) = 20 Ответ: 20