Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1390

\[\boxed{\mathbf{1390.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - четырехугольник;\]

\[AC \cap BD = O;\]

\[S_{\text{ODC}} = \sqrt{S_{\text{OBC}} \bullet S_{\text{OAD}}}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[ABCD - трапеция\ или\ \]

\[параллелограмм.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ OA = a;\ OB = b;\ \]

\[OC = c;\ OD = d;\ \angle COD = a.\]

\[2)\ S_{\text{ODC}} = \frac{1}{2}OC \cdot OD \cdot sina =\]

\[= \frac{\text{cd}}{2}\text{sina.\ }\]

\[3)\ S_{\text{OBC}} =\]

\[= \frac{1}{2}OB \cdot OC \cdot \sin\left( 180^{0} - a \right) =\]

\[= \frac{\text{bc}}{2}\text{sina.}\]

\[4)\ S_{\text{ODC}} = \sqrt{S_{\text{OBC}} \cdot S_{\text{OAD}}} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow S_{\text{ODC}}^{2} = S_{\text{OBC}} \cdot S_{\text{OAD}}.\]

\[5)\left( \frac{\text{cd}}{2}\text{sina} \right)^{2} =\]

\[= \frac{\text{bc}}{2}sina \cdot \frac{\text{ad}}{2}\text{sina}\]

\[c^{2}d^{2} = bc \cdot ad\]

\[cd = ad\]

\[\frac{c}{a} = \frac{b}{d} = k.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{OC}}{\text{OA}} = \frac{\text{OB}}{\text{OD}} = k;\ \]

\[\angle BOC = \angle DOA -\]

\[как\ вертикальные;\]

\[6)\ \left. \ \begin{matrix} \angle CBO = \angle ADO \\ BD - секущая \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow AD||BC.\]

\[Если\ k < 1:\]

\[\ \mathrm{\Delta}BOC\sim\mathrm{\Delta}DOA;\ \]

\[BC < AD;\]

\[ABCD - трапеция.\]

\[Если\ k = 1:\]

\[\mathrm{\Delta}BOC = \mathrm{\Delta}DOA;\ \]

\[ABCD - параллелограмм.\]

\[Если\ k > 1:\]

\[\ \mathrm{\Delta}BOC\sim\mathrm{\Delta}DOA;\ \]

\[BC > AD;\ \]

\[ABCD - трапеция.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]