Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1389

\[\boxed{\mathbf{1389.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[MNPQ - квадрат;\]

\[A \in NP;\]

\[B \in PQ;\]

\[NA = \frac{1}{2}MN;\]

\[QB = \frac{1}{3}\text{MN.}\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\angle AMB = 45{^\circ}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ MN = a:\]

\[\ NA = \frac{1}{2}a;\ \ \ QB = \frac{1}{3}\text{a.}\]

\[В\ \mathrm{\Delta}MNA\ по\ теореме\ Пифагора:\]

\[AM^{2} = MA^{2} + NA^{2} =\]

\[= a^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2} = \frac{5a^{2}}{4}.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}APB:\]

\[AB^{2} = AP + PB^{2} =\]

\[= \left( \frac{a}{2} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3}a \right)^{2} = \frac{a^{2} + 16a^{2}}{36} =\]

\[= \frac{25a^{2}}{36}.\]

\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}MBQ:\]

\[MB^{2} = MQ^{2} + BQ^{2} =\]

\[= a^{2} + \left( \frac{a}{3} \right)^{2} = \frac{10a^{2}}{9};\]

\[AM = \frac{a\sqrt{5}}{2};\]

\[AB = \frac{5a}{6};\ \ \]

\[MB = \frac{a\sqrt{10}}{3}.\]

\[4)\ Пусть\ \angle AMB = a:\]

\[cosa = \frac{AM^{2} + MB^{2} - AB^{2}}{2 \cdot AM \cdot MB} =\]

\[= \frac{\frac{5a^{2}}{4} + \frac{10a^{2}}{9} - \frac{25a^{2}}{36}}{2 \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{10}}{3}} =\]

\[= \frac{\frac{(45 + 40 - 25)}{36}}{\frac{5\sqrt{2}}{3}} =\]

\[= \frac{60}{36} \cdot \frac{3}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

\[Отсюда:\ \]

\[\angle AMB = 45{^\circ}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]