Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 71

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[CM - медиана;\]

\[BC = a;\ \]

\[AC = b;\]

\[AB = c;\ \]

\[CM = m_{c}.\]

\[Доказать:\]

\[m_{c} = \frac{\sqrt{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}}{2}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}c;\]

\[a^{2} = c^{2} + b^{2} - 2cb \bullet \cos{\angle A}\]

\[2cb \bullet \cos{\angle A} = c^{2} + b^{2} - a^{2}\]

\[\cos{\angle A} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2cb}.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ACM:\]

\[4m_{c}^{2} = 2b^{2} + 2a^{2} - c^{2}\]

\[m_{c}^{2} = \frac{1}{4}\left( 2b^{2} + 2a^{2} - c^{2} \right)\]

\[m_{c} = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2} + 2a^{2} - c^{2}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]