Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 44

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[O - центр\ впис.\ окружности;\]

\[BC = a;\ \]

\[AC = b;\]

\[\angle AOB = 120{^\circ}.\]

\[Найти:\]

\[\text{AB.}\]

\[Решение:\]

\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}AOB:\]

\[\angle OAB + \angle OBA =\]

\[= 180{^\circ} - \angle AOB = 60{^\circ}.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[O - центр\ впис.\ окружности;\]

\[AO - биссектриса\ \angle BAC;\]

\[BO - биссектриса\ \angle ABC;\]

\[\angle C = 180{^\circ} - (\angle A + \angle B) =\]

\[= 180{^\circ} - 2(\angle AOB + \angle OBA) =\]

\[= 180{^\circ} - 2 \bullet 60{^\circ} =\]

\[= 180{^\circ} - 120{^\circ} = 60{^\circ};\]

\[AB^{2} =\]

\[= AC^{2} + BC^{2} - 2AC \bullet BC \bullet \cos{\angle C} =\]

\[= b^{2} + a^{2} - 2ba \bullet \cos{60{^\circ}} =\]

\[= b^{2} + a^{2} - 2ba \bullet \frac{1}{2} =\]

\[= a^{2} + b^{2} - ab;\]

\[AB = \sqrt{a^{2} + b^{2} - ab}.\]

\[Ответ:\ \ \sqrt{a^{2} + b^{2} - ab}.\]