Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 43

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - прямоугольный;\]

\[\angle C = 90{^\circ};\ \]

\[O - центр\ впис.\ окружности;\]

\[OA = a\ см;\]

\[OB = b\ см.\]

\[Найти:\]

\[\text{AB.}\]

\[Решение:\]

\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[\angle C = 90{^\circ};\]

\[\angle A + \angle B = 90{^\circ};\]

\[O - центр\ впис.\ окружности;\]

\[AO - биссектриса\ \angle BAC;\]

\[BO - биссектриса\ \angle ABC.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}AOB:\]

\[\angle AOB = 180{^\circ} - (\angle BAO + \angle OBA) =\]

\[= 180{^\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 135{^\circ};\]

\[AB^{2} =\]

\[= AO^{2} + BO^{2} - 2AO \bullet BO\cos{\angle O} =\]

\[= a^{2} + b^{2} - 2ab \bullet \cos{135{^\circ}} =\]

\[= a^{2} + b^{2} - 2ab \bullet \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) =\]

\[= a^{2} + b^{2} + ab\sqrt{2};\]

\[AB = \sqrt{a^{2} + b^{2} + ab\sqrt{2}}.\]

\[Ответ:\ \ \sqrt{a^{2} + b^{2} + ab\sqrt{2}}\ см.\]