Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 278

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - квадрат;\]

\[R_{окр} = AB = a.\]

\[Найти:\]

\[P_{\text{MNKP}}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}AND:\]

\[AN = AD = DN = R.\]

\[Згачит:\]

\[\mathrm{\Delta}AND - равносторонний.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle A = \angle N = \angle D = 60{^\circ}.\]

\[2)\ ABCD - квадрат:\]

\[\angle BAN = 90{^\circ} - \angle DAN = 30{^\circ}.\]

\[3)\ Из\ симметрии:\]

\[\angle DAK = 30{^\circ}.\]

\[4)\ В\ ABCD:\]

\[\angle NAK = 90{^\circ} - \angle BAN - \angle DAK =\]

\[= 90{^\circ} - 30{^\circ} - 30{^\circ} = 30{^\circ}.\]

\[L_{\text{NK}} = \frac{\angle NAK \bullet \pi R}{180{^\circ}} = \frac{30{^\circ} \bullet \pi a}{180{^\circ}} = \frac{\pi a}{6}.\]

\[P_{\text{MNKP}} = 4 \bullet L_{\text{NK}} = 4 \bullet \frac{\pi a}{6} = \frac{2\pi a}{3}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{2\pi a}{3}.\]