Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 276

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[E - центр\ впис.\ окружности;\]

\[\angle AOB = 60{^\circ};\]

\[OH = R.\]

\[Найти:\]

\[S_{E}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Окружность\ с\ центром\ O:\]

\[AB - касательная;\ \ \ \]

\[OH\bot AB.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AOB - равносторонний:\]

\[OH - бисектриса\ и\ высота.\]

\[Получаем:\]

\[S_{\text{AOB}} = \frac{1}{2} \bullet OA \bullet OB \bullet \sin{\angle AOB} =\]

\[= \frac{1}{2}AB^{2} \bullet \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}AB^{2} =\]

\[= \frac{1}{2}AB \bullet OH.\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2}AB = OH\ \ \]

\[AB = \frac{2}{\sqrt{3}}R\]

\[r = \frac{\text{AB}}{2\ tg\frac{180{^\circ}}{3}} = \frac{1}{2\ tg\ 60{^\circ}} \bullet \frac{2R}{\sqrt{3}} =\]

\[= \frac{1}{\sqrt{3}} \bullet \frac{1}{\sqrt{3}}R = \frac{1}{3}\text{R.}\]

\[3)\ Окружность\ с\ центром\ E:\]

\[S = \pi R_{окр}^{2} = \pi \bullet \left( \frac{R}{3} \right)^{2} = \frac{\pi R^{2}}{9}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{\pi R^{2}}{9}.\]