Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 207

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCDE - прав.пятиугольник.\]

\[Доказать:\]

\[EC \parallel AB.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCDE - пятиугольник:\]

\[\angle EOA = \angle AOB = \angle BOC = \beta;\]

\[\angle EOC = \angle EOD + \angle DOC = 2\beta;\]

\[OA = OB = OC = OE = R;\]

\[\beta = \frac{360{^\circ}}{5} = 72{^\circ}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}EOC - равнобедренный:\]

\[\angle OCE = \frac{1}{2} \bullet (180{^\circ} - \angle EOC) =\]

\[= 90{^\circ} - 72{^\circ} = 18{^\circ}.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}AOB - равнобедренный:\]

\[\angle OBA = \frac{1}{2} \bullet (180{^\circ} - \angle AOB) =\]

\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2} \bullet 72{^\circ} = 54{^\circ}.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}BOC - равнобедренный:\]

\[\angle OBC = \angle OCB = \frac{1}{2} \bullet (180{^\circ} - \angle BOC);\]

\[\angle OBC = \angle OCB =\]

\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2} \bullet 72{^\circ} = 54{^\circ}.\]

\[5)\ ABCE - четырехугольник:\]

\[\angle ABC + \angle ECB =\]

\[= \angle ABO + \angle OBC + \angle OCB + \angle OCE =\]

\[= 54{^\circ} + 54{^\circ} + 54{^\circ} + 18{^\circ} = 180{^\circ}.\]

\[Отсюда:\]

\[ABCE - трапеция;\]

\[CE \parallel AB.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]