Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 108

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[CD - медиана;\]

\[\angle ACD = \alpha;\]

\[\angle BCD = \beta;\]

\[BC = a.\]

\[Найти:\]

\[\text{CD.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Дополнительное\ построение:\]

\[KD = CD;\ \ \ \]

\[K \in CD.\]

\[2)\ Рассмотрим\ CBKA:\]

\[CD = KD;\ \ \ \]

\[BD = AD.\]

\[Следовательно:\]

\[CBKA - параллелограмм.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle BCA = \angle BCK + \angle ACK = \alpha + \beta;\]

\[AK = BC = a;\ \ \ \]

\[\angle CAK = 180{^\circ} - \angle BCA;\]

\[\sin{\angle CAK} = \sin{\angle BCA} =\]

\[= \sin(\alpha + \beta).\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}ACK:\]

\[\frac{\text{CK}}{\sin{\angle CAK}} = \frac{\text{AK}}{\sin{\angle ACK}}\]

\[CK = \frac{AK \bullet \sin{\angle CAK}}{\sin{\angle ACK}} =\]

\[= \frac{a\sin(\alpha + \beta)}{\sin\alpha};\]

\[CD = \frac{1}{2}CK = \frac{a\sin(\alpha + \beta)}{2\sin\alpha}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{a\sin(\alpha + \beta)}{2\sin\alpha}.\]