Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 106

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[CD - биссектриса\ \angle C;\]

\[DE \parallel BC;\ \]

\[AE = a;\]

\[\angle A = \alpha;\ \]

\[\angle B = \beta.\]

\[Найти:\]

\[\text{CE.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Четырехугольник\ CEDB:\]

\[\angle DEC = 180{^\circ} - \angle BCE;\]

\[\angle DCE = \frac{1}{2}\angle BCE.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}DEC:\]

\[\angle CDE = 180{^\circ} - \angle DEC - \angle DCE =\]

\[= \angle BCE - \frac{1}{2}\angle BCE = \frac{1}{2}\angle BCE.\]

\[Следовательно,\ \mathrm{\Delta}DEC -\]

\[равнобедренный:\]

\[DE = CE.\]

\[3)\ Для\ прямых\ \text{DE\ }и\ \text{BC\ }и\ \]

\[секущей\ AB:\]

\[\angle ADE = \angle ABC = \beta -\]

\[соответственные.\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}ADE:\]

\[\frac{\text{DE}}{\sin{\angle A}} = \frac{\text{AE}}{\sin{\angle ADE}};\]

\[CE = DE = \frac{AE \bullet \sin{\angle A}}{\sin{\angle ADE}} = \frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{a\sin\alpha}{\sin\beta}.\]