Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 886
Задание 886
\[\boxed{\mathbf{886.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[H - точка\ пересечения\ высот;\]
\[A^{'},B^{'},C^{'} - симметричны\ A,B\ и\ \]
\[\text{C.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A^{'},B^{'},C^{'} \in описанной\ \]
\[окружности.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Докажем,\ что\ точка\ A^{'}лежит\ \]
\[на\ окружности,описанной\ \]
\[около\ \mathrm{\Delta}ABC.\]
\[Если\ \mathrm{\Delta}ABC - остроугольный\ \]
\[(\angle B < 90{^\circ}):\]
\[\angle CBA^{'} = \angle CBH = 90{^\circ} - \angle C;\]
\[\angle ABA^{'} = 90{^\circ} - \angle C + \angle B.\]
\[2)\ Аналогично:\ \]
\[\angle ACA^{'} = 90{^\circ} - \angle B + \angle C.\]
\[3)\ Таким\ образом,\ в\ \]
\[четырехугольнике\ \text{AB}A^{'}C:\]
\[\angle B + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[вокруг\ него\ можно\ описать\ \]
\[окружность,\ но\ через\ точки\]
\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]
\[только\ одна\ окружность\ \]
\[описанная\ около\ \mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]
\[4)\ Аналогично - \ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]
\[5)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[прямоугольный\ (\angle B = 90{^\circ}):\]
\[точка\ пересечения\ высот\ будет\ \]
\[совпадать\ с\ точкой\ B = H,\ \]
\[\Longrightarrow A^{'} = C^{'} = H = B.\]
\[6)\ ABCB^{'} - прямоугольник:\ \]
\[AB^{'} = BC;\]
\[CB^{'} = AB;\]
\[\angle B = 90{^\circ}.\]
\[7)\ Вокруг\ прямоугольника\ \]
\[можно\ описать\ окружность,\ \]
\[но\ через\ точки\ A,B\ и\ \text{C\ }может\ \]
\[проходить\ только\ одна\ \]
\[окружность\ \ описанная\ около\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]
\[8)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC - тупоугольный\ \]
\[(\angle B > 90{^\circ}):\]
\[\angle AA^{'}B = 180{^\circ} - \angle HA^{'}B =\]
\[= 180{^\circ} - BHA^{'},\ но\]
\[\angle BHA^{'} = \angle BHA =\]
\[= 90{^\circ} - \angle CAH = \angle C.\]
\[10)\ Таким\ образом\ в\ \]
\[четырехугольнике\ AA'BC:\]
\[\angle A^{'} + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[вокруг\ негоможно\ описать\ \]
\[окружность,\ но\ через\ точки\]
\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]
\[только\ одна\ окружность,\ \]
\[описанная\ около\ \mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]
\[5)\ Аналогично\ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{886.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\ \]
\[углы\ \text{α\ }и\ \gamma;\ \]
\[отрезок\ \text{a.}\]
\[Построить:\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[\angle A = \alpha;\]
\[\angle C = \gamma;\]
\[AC + BH = a;\]
\[BH - высота.\]
\[\mathbf{Построение.}\]
\[1)\ Проводим\ прямую\ f,\ \]
\[выбираем\ на\ ней\ точку\ A,\ \]
\[откладываем\ произвольный\ \]
\[отрезок\ AC_{1}.\]
\[2)\ Строим\ \angle A = \alpha\ и\ \angle C_{1} = \gamma.\ \]
\[Отмечаем\ точку\ пересечения\ \]
\[B_{1}.\]
\[3)\ Опускаем\ перпендикуляр\]
\[\ B_{1}\text{H\ }на\ AC_{1}\text{.\ \ }\]
\[Отмечаем\ H = B_{1}H \cap AC_{1}.\]
\[Подобный\ треугольник\ AB_{1}C_{1}\ \]
\[построен.\]
\[4)\ Проводим\ от\ точки\ A\ луч\ \]
\[\text{AR}\ под\ произвольным\ острым\]
\[\ углом\ к\ AC.\]
\[Отмечаем\ точки\ R_{1}и\ R:\ \]
\[AR_{1} = \ AC_{1} + B_{1}H_{1};\ \ AR = a.\]
\[5)\ Проведем\ прямую\ R_{1}C_{1}\ \]
\[и\ параллельную\ ей\ \text{RC}\ \parallel R_{1}C_{1}.\ \]
\[Отмечаем\ точку\ пересечения\ \]
\[C = \ \text{RC}\ \cap \ AC_{1}.\]
\[6)\ Проводим\ прямую\ \]
\[CB \parallel C_{1}B_{1}.\ Отмечаем\ точку\ \]
\[пересечения\ B = CB \cap AB_{1}.\ \]
\[Масштабирование\ завершено.\ \]
\[Треугольник\ ABC\ - \ искомый.\]
\[Задача\ имеет\ решение\ для\ \]
\[любого\ отрезка\ a\ при\ условии:\ \]
\[\alpha + \gamma\ < \ 180{^\circ}.\]
